Évolutions successives et coefficient multiplicateur global

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• CM_global = CM_1 CM_2 CM_n. • t_global = CM_global - 1. • On ne doit JAMAIS additionner les pourcentages d'évolution successifs.

Le cours

Composition de plusieurs évolutions consécutives Lorsqu'une grandeur subit plusieurs évolutions successives de taux respectifs t_1, t_2, , t_k, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque étape : CM_global = CM_1 CM_2 CM_k Le taux d'évolution global s'obtient ensuite directement par : t_global = CM_global - 1 Conséquence majeure : Les taux d'évolution successifs ne s'additionnent jamais ! On ne peut additionner les pourcentages que s'ils portent sur la même valeur de base, ce qui n'est jamais le cas lors d'évolutions consécutives. V0 × CM₁ = 1,15 (+15 %) V1 × CM₂ = 0,90 (-10 %) V2 CM global = 1,15 × 0,90 = 1,035 (+3,5 %) Exemple concret d'application & Résolution pas à pas Mise en situation : Évolution des commandes de matériel médical sur deux trimestres. Au 1er trimestre, à la suite d'un appel d'offres hospitalier remporté, le carnet de commandes d'une PME d'équipements biomédicaux progresse de +15\,\%. Au 2e trimestre, confrontée à des retards mondiaux de livraison de microprocesseurs, l'entreprise subit une diminution de ses commandes de -10\,\% par rapport au 1er trimestre. La direction financière souhaite évaluer le taux d'évolution global des commandes sur l'ensemble du semestre. Résolution méthodique : • Étape 1 (Coefficients multiplicateurs individuels) : Pour le 1er trimestre (hausse de 15\,\%) : CM_1 = 1 + 0,15 = 1,15. Pour le 2e trimestre (baisse de 10\,\%) : CM_2 = 1 - 0,10 = 0,90. • Étape 2 (Calcul du coefficient multiplicateur global) : CM_global = CM_1 CM_2 = 1,15 0,90 • Étape 3 (Calcul numérique posé) : CM_global = 1,035 Déduction du taux global : t_global = CM_global - 1 = 1,035 - 1 = +0,035 = +3,5\,\% • Étape 4 (Conclusion et comparaison avec l'intuition naïve) : Sur l'ensemble du semestre, les commandes ont augmenté globalement de +3,5\,\%. L'addition intuitive +15\,\% - 10\,\% = +5\,\% est totalement erronée, car la baisse de 10\,\% s'applique sur un montant plus grand (le chiffre déjà augmenté du T1), retranchant ainsi davantage de commandes. Point de vigilance & Piège classique Deux augmentations successives de +10\,\% ne font pas +20\,\%, mais +21\,\%, car 1,10 1,10 = 1,21. De même, deux diminutions consécutives de -20\,\% conduisent à CM = 0,80 0,80 = 0,64, soit une baisse de -36\,\% (et non -40\,\%).

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