Coefficient multiplicateur CM = 1 + t et calcul direct de la valeur finale

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Hausse de t\,\% CM = 1 + t/100. • Baisse de t\,\% CM = 1 - t/100. • Formule universelle : V_f = V_i CM. • Réciproquement : t = CM - 1.

Le cours

Le coefficient multiplicateur : outil clé du calcul d'évolution Pour faire évoluer une valeur initiale V_i d'un taux relatif t, on calcule la valeur finale : V_f = V_i + t V_i = V_i (1 + t) Le nombre CM = 1 + t est appelé le coefficient multiplicateur associé au taux t. Il permet de calculer directement la valeur finale par une simple multiplication : V_f = V_i CM En cas de hausse (t > 0) : CM > 1 • Hausse de 5\,\% CM = 1 + 0,05 = 1,05 • Hausse de 20\,\% CM = 1 + 0,20 = 1,20 En cas de baisse (t • Baisse de 8\,\% CM = 1 - 0,08 = 0,92 • Baisse de 30\,\% CM = 1 - 0,30 = 0,70 Valeur initiale Vi = 14 800 € × CM = 1,045 (Hausse de 4,5 %) Valeur finale Vf = 15 466 € Exemple concret d'application & Résolution pas à pas Mise en situation : Révision contractuelle d'une prestation d'hébergement cloud. Une entreprise prestataire d'infrastructures serveurs facture annuellement un contrat de maintenance pour un montant initial de 14\,800 € HT (V_i). En raison de la hausse des coûts énergétiques, le contrat prévoit une revalorisation tarifaire annuelle de +4,5\,\%. Parallèlement, un équipement de secours proposé au catalogue à 850 € bénéficie d'une remise constructeur exceptionnelle de 20\,\%. Calculer directement le nouveau montant du contrat annuel (V_f) et le tarif remisé de l'équipement. Cas 1 : Nouveau tarif de l'abonnement annuel (Hausse) • Étape 1 (Déterminer le CM) : Pour une hausse de 4,5\,\%, t = +0,045. CM = 1 + t = 1 + 0,045 = 1,045 • Étape 2 (Calcul direct de la valeur finale) : V_f = V_i CM = 14\,800 1,045 = 15\,466 € • Étape 3 (Interprétation) : Le nouveau coût annuel de l'abonnement s'établit à 15\,466 € HT (soit une augmentation de 666 €). Cas 2 : Tarif remisé de l'équipement (Baisse) • Étape 1 (Déterminer le CM) : Pour une baisse de 20\,\%, t = -0,20. CM = 1 - 0,20 = 0,80 • Étape 2 (Calcul direct) : V_f = 850 0,80 = 680 € • Étape 3 (Interprétation) : L'équipement remisé sera facturé 680 € (économie immédiate de 170 €). Point de vigilance & Piège classique Attention aux décimales des petits pourcentages ! Une hausse de 4,5\,\% donne CM = 1 + 0,045 = 1,045. Écrire par inattention 1,45 reviendrait à appliquer une augmentation gigantesque de 45\,\% ! De même, une baisse de 6\,\% donne CM = 1 - 0,06 = 0,94 (et non 0,4 ni 0,6).

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