Taux d'évolution moyen et coefficient multiplicateur moyen

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• CM_m = (CM_global)^1/n. • Taux moyen par période : t_m = CM_m - 1. • La moyenne des taux d'évolution n'est JAMAIS la moyenne arithmétique t_1 + + t_n/n.

Le cours

Lissage d'une série d'évolutions : le taux d'évolution moyen Lorsqu'une grandeur subit n évolutions successives d'aboutissement global CM_global, le coefficient multiplicateur moyen par période CM_m est le coefficient multiplicateur unique qui, répété n fois de suite de manière constante, aboutirait exactement au même résultat global : (CM_m)^n = CM_global CM_m = (CM_global)^1/n = [n]CM_global Le taux d'évolution moyen par période t_m est alors : t_m = CM_m - 1 Moyenne géométrique : Le coefficient multiplicateur moyen est la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs successifs, et non la moyenne arithmétique des pourcentages. En pratique : pour n = 2, CM_m = CM_global ; pour n 3, on calcule (CM_global)^1/n à la calculatrice avec la touche puissance (la racine n-ième sera étudiée en Terminale). V0 (2021) V1 (2022) V2 (2023) V3 (2024) (CMm)³ = CM global ⟹ CMm = (CM global)¹ᐟ³ Exemple concret d'application & Résolution pas à pas Mise en situation : Croissance du réseau d'abonnés d'une plateforme d'intelligence industrielle. Au 1er janvier 2021, une jeune entreprise innovante comptait 4\,000 entreprises clientes abonnées (V_0). Au 1er janvier 2024 (soit au terme de n = 3 années d'activité), le nombre d'abonnés a atteint 6\,912 entreprises (V_3). Le directeur du développement souhaite calculer le taux de croissance annuel moyen sur ces 3 années. Résolution méthodique : • Étape 1 (Identifier la durée et le coefficient global) : Nombre d'années écoulées : n = 3. Coefficient multiplicateur global sur 3 ans : CM_global = V_3/V_0 = 6\,912/4\,000 = 1,728 (soit une hausse globale de 72,8\,\% sur la période) • Étape 2 (Formule du coefficient multiplicateur moyen) : (CM_m)^3 = 1,728 CM_m = (1,728)^1/3 • Étape 3 (Calcul numérique posé) : À la calculatrice : 1,728^(1/3) = 1,20. CM_m = 1,20 Calcul du taux annuel moyen : t_m = CM_m - 1 = 1,20 - 1 = +0,20 = +20\,\% • Étape 4 (Conclusion et vérification pas à pas) : Le nombre d'abonnés a progressé à un rythme moyen de +20\,\% par an. Contrôle : 4\,000 1,20^3 = 4\,000 1,728 = 6\,912 abonnés. Diviser le taux global par 3 aurait donné 72,8\,\%3 24,27\,\%, ce qui surestime faussement le rythme moyen annuel. Point de vigilance & Piège classique Sur votre calculatrice, placez impérativement des parenthèses autour de l'exposant : écrivez 1.728^(1/3) et non 1.728^1/3 (cette dernière expression calculerait 1,728^13 = 0,576).

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