Évolution réciproque et taux compensateur

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Coefficient multiplicateur réciproque : CM' = 1/CM. • Taux réciproque : t' = 1/CM - 1. • Le taux réciproque n'est JAMAIS l'opposé du taux initial (t' -t).

Le cours

Compenser une évolution : l'évolution réciproque L'évolution réciproque est l'évolution qui permet de ramener une grandeur de sa valeur finale V_f à sa valeur initiale exacte V_i. Si l'évolution directe possède un coefficient multiplicateur CM = 1 + t, alors le coefficient multiplicateur réciproque CM' est son inverse : CM' = 1/CM = 1/1 + t Le taux d'évolution réciproque t' est donc : t' = CM' - 1 = 1/CM - 1 Propriété fondamentale : t' et t sont toujours de signes opposés, mais ne sont jamais égaux en valeur absolue (sauf si t = 0). Une hausse n'est jamais compensée par la même baisse en pourcentage. Départ Vi 500 kg Arrivée Vf 400 kg Évolution directe : -20 % (CM = 0,80) Évolution réciproque : +25 % (CM' = 1/0,80 = 1,25) Exemple concret d'application & Résolution pas à pas Mise en situation : Reconstitution d'un stock de matière première après pic d'activité. Dans un atelier d'injection plastique, la réserve de résine polymère a diminué de 20\,\% en un mois en raison d'une commande urgente (t = -20\,\%). Le gestionnaire des stocks doit commander un réapprovisionnement pour rétablir exactement la réserve initiale. Quel pourcentage d'augmentation du stock restant doit-il commander ? Résolution méthodique : • Étape 1 (Identifier le coefficient direct) : Pour une baisse de 20\,\% : CM = 1 - 0,20 = 0,80 • Étape 2 (Formule du coefficient réciproque) : CM' = 1/CM = 10,80 • Étape 3 (Calcul numérique détaillé) : CM' = 18/10 = 10/8 = 1,25 Taux réciproque associé : t' = CM' - 1 = 1,25 - 1 = +0,25 = +25\,\% • Étape 4 (Vérification et conclusion) : Pour compenser une baisse de 20\,\%, il faut augmenter le stock résiduel de +25\,\%. Contrôle numérique : Si la réserve initiale était de 500 kg : Après la baisse de 20\,\% : 500 0,80 = 400 kg. Si l'on appliquait +20\,\% : 400 1,20 = 480 kg 500 kg (déficit de 20 kg !). Avec +25\,\% : 400 1,25 = 500 kg, le stock initial est parfaitement reconstitué. Point de vigilance & Piège classique L'exemple le plus spectaculaire concerne une baisse de 50\,\% (CM = 0,50) : pour retrouver la valeur de départ, il faut doubler la valeur résiduelle (CM' = 10,50 = 2), ce qui correspond à une hausse compensatrice de +100\,\% (et non +50\,\%) !

Dans ce chapitre

• Proportions, pourcentages d'une quantité et tableaux de proportionnalité
• Calcul littéral et isolation de variables dans les formules de proportionnalité
• Calculs de pourcentages directs, remises et TVA de Seconde
• Proportion d'une sous-population et proportions échelonnées
• Taux d'évolution relatif et variation absolue
• Coefficient multiplicateur CM = 1 + t et calcul direct de la valeur finale
• Retrouver la valeur initiale : Vi = Vf / CM
• Évolutions successives et coefficient multiplicateur global
• Évolution réciproque et taux compensateur
• Taux d'évolution moyen et coefficient multiplicateur moyen
• Les indices en base 100 : définition, lecture et comparaison de séries
• Passer d'un indice à un taux d'évolution et changement de base
• Indices synthétiques et applications économiques en série temporelle
• Bilan : Synthèse et méthode sur Proportions, taux d'évolution et indices