Règle fondamentale des quotients égaux

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• a/b = a k/b k et a/b = a k/b k pour tout nombre k non nul. • On applique toujours la même opération au numérateur et au dénominateur. • Multiplier en haut et en bas par 10, 100… transforme une écriture fractionnaire à virgules en fraction d'entiers. • Ajouter ou soustraire un même nombre en haut et en bas ne conserve pas le quotient.

Le cours

1. La propriété Un quotient ne change pas quand on multiplie ou qu'on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul k : a/b = a k/b k a/b = a k/b k Exemple : 3/5 = 3 4/5 4 = 12/20 ; d'ailleurs 12/20 et 3/5 valent tous deux 0,6. 2. Pourquoi c'est vrai Une tablette est partagée en 5 parts égales et on en prend 3. Si l'on coupe chaque part en 4 morceaux égaux, la tablette compte alors 5 4 = 20 morceaux, et les 3 parts prises deviennent 3 4 = 12 morceaux. La quantité de chocolat n'a pas changé : 3/5 = 12/20. 3. Méthode : compléter une égalité de quotients 1. Comparer les deux termes connus qui se correspondent (les deux dénominateurs, ou les deux numérateurs) pour trouver le nombre k par lequel on multiplie ou on divise. 2. Appliquer exactement la même opération à l'autre terme. Exemple : 5/8 = /56. Comme 8 7 = 56, on calcule 5 7 = 35 : 5/8 = 35/56. 4. Usages fréquents Supprimer les virgules d'une écriture fractionnaire : 1,52,5 = 1,5 102,5 10 = 15/25, puis la simplifier en divisant par 5 : 15/25 = 3/5. Obtenir un dénominateur 10 ou 100 pour lire l'écriture décimale : 3/4 = 75/100 = 0,75. Mettre deux fractions au même dénominateur pour les comparer : 3/4 = 3 3/4 3 = 9/12, qui se compare directement à 7/12. Écrire un entier sous forme de fraction : 2 = 2/1 = 10/5 = 14/7. Diviser en haut et en bas sert à simplifier ; quand le numérateur et le dénominateur n'ont plus d'autre diviseur commun que 1, comme 3 et 5, la fraction est dite irréductible. 5. Attention Ajouter ou soustraire un même nombre en haut et en bas change la valeur : 1/2 = 0,5, mais 1 + 3/2 + 3 = 4/5 = 0,8. Seules la multiplication et la division par un même nombre conservent un quotient, et jamais par 0.

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