Addition et soustraction de fractions avec recherche du dénominateur commun

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Même dénominateur obligatoire : on le choisit parmi les multiples communs des dénominateurs. • a/b = a k/b k : on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre. • Formule générale : a/b + c/d = a d + c b/b d, puis on simplifie. • Jamais a/b + c/d = a + c/b + d.

Le cours

Notion de 4ème En 5ème, l'un des dénominateurs était un multiple de l'autre. En 4ème, on additionne et on soustrait des fractions de dénominateurs quelconques, positives ou négatives. Ce qu'il faut savoir On n'additionne ou ne soustrait que des fractions de même dénominateur. Sinon, on remplace chaque fraction par une fraction égale, grâce à la propriété a/b = a k/b k (avec b 0 et k 0). Le dénominateur commun est un multiple commun des dénominateurs. Le produit des dénominateurs convient toujours ; le plus petit multiple commun donne des nombres plus petits. Trois situations : pour 4 et 12, on prend 12 (un dénominateur est multiple de l'autre) ; pour 5 et 7, on prend 35 (aucun diviseur commun autre que 1, donc le produit) ; pour 6 et 8, on prend 24 (le produit 48 marche aussi, mais 24 suffit). Avec des nombres négatifs, on place le signe au numérateur ou devant la fraction et on garde des dénominateurs positifs : 7/-4 = -7/4 = -7/4. a/b + c/d = a d/b d + c b/d b = a d + c b/b d Méthode 1. Écrire chaque fraction avec un dénominateur positif. 2. Chercher le plus petit dénominateur commun : parcourir les multiples du plus grand dénominateur jusqu'au premier qui est aussi multiple de l'autre. 3. Pour chaque fraction, calculer le facteur k (dénominateur commun divisé par son dénominateur), puis multiplier le numérateur et le dénominateur par k. 4. Additionner ou soustraire les numérateurs avec les règles des relatifs, garder le dénominateur commun, puis simplifier. Exemple commenté On calcule 5/6 - 3/8. Les multiples de 8 sont 8, 16, 24… et 24 = 6 4 : le plus petit dénominateur commun est 24. Alors 5/6 = 20/24 et 3/8 = 9/24, d'où 5/6 - 3/8 = 20 - 9/24 = 11/24. Attention Additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux est faux : 1/2 + 1/3 donnerait 2/5 = 0,4, moins que 1/2 à lui seul ! Le bon calcul est 3/6 + 2/6 = 5/6. Avec le produit des dénominateurs Le produit fonctionne toujours, au prix d'une simplification finale : avec 48, on obtient 5/6 - 3/8 = 40 - 18/48 = 22/48 = 11/24, le même résultat.

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