Définition d'une fonction linéaire : formule f(x) = ax

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Fonction linéaire de coefficient a : f(x) = ax, notée aussi f : x ax. • Elle modélise une situation de proportionnalité de coefficient a, et réciproquement. • Pour toute fonction linéaire, f(0) = 0. • Un terme constant, un carré ou un x au dénominateur : la fonction n'est pas linéaire.

Le cours

1. Définition Soit a un nombre fixé (entier, décimal, fraction, positif ou négatif). La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui, à tout nombre x, associe le produit a x. On note : f : x ax ou f(x) = ax Le nombre a est le coefficient de la fonction. Exemples : f(x) = 3x a pour coefficient 3 ; g(x) = -0,8x a pour coefficient -0,8 ; h(x) = x/4 a pour coefficient 1/4, car x/4 = 1/4x ; k(x) = -x a pour coefficient -1. La fonction nulle x 0 est la fonction linéaire de coefficient 0. 2. Lien avec la proportionnalité Si une grandeur y est proportionnelle à une grandeur x avec le coefficient a, alors y = ax : la situation est modélisée par la fonction linéaire de coefficient a. Réciproquement, une fonction linéaire produit toujours des valeurs proportionnelles : son tableau de valeurs est un tableau de proportionnalité. Exemples : le prix de x kilogrammes de cerises à 8,50\ € le kilogramme est P(x) = 8,5x ; le périmètre d'un carré de côté c est P(c) = 4c. En revanche, l'aire de ce carré, A(c) = c^2, n'est pas une fonction linéaire : quand le côté double, l'aire est multipliée par 4. 3. Méthode : reconnaître une fonction linéaire 1. Développe et réduis l'expression si nécessaire. 2. Elle est linéaire si elle s'écrit a x : un seul terme, qui contient x (sans exposant), sans nombre ajouté ni retranché. 3. Un terme constant non nul (3x + 1), un carré (x^2) ou un x au dénominateur (5/x) : la fonction n'est pas linéaire. 4. Test rapide : une fonction linéaire vérifie toujours f(0) = a 0 = 0. Si f(0) 0, elle n'est pas linéaire. 4. Attention Le test f(0) = 0 permet seulement d'éliminer : x x^2 donne aussi 0 pour x = 0, mais elle n'est pas linéaire. À l'inverse, une expression peut cacher une fonction linéaire : 2(x + 5) - 10 = 2x + 10 - 10 = 2x est linéaire, de coefficient 2.

Dans ce chapitre

• Tableaux de proportionnalité et pourcentages de 4ème
• Produit et quotient de nombres relatifs et règle des signes de 4ème
• Multiplication et division de fractions numériques de 4ème
• Définition d'une fonction linéaire : formule f(x) = ax
• Représentation graphique d'une fonction linéaire : droite passant par l'origine
• Calcul d'images, antécédents et détermination du coefficient a
• Fonctions linéaires et pourcentages d'évolution (hausse et baisse)
• Lecture et tracé d'une droite avec le coefficient directeur
• Tableau de valeurs et reconnaissance d'une fonction linéaire — 3ème
• Échelles cartographiques et agrandissements modélisés par une fonction linéaire — 3ème
• Conversions d'unités et de devises modélisées par une fonction linéaire — 3ème
• Taux de TVA et calcul du prix TTC à l'aide d'une fonction linéaire — 3ème
• Programmation d'une fonction linéaire sous Scratch et calcul automatique — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les fonctions linéaires