Calcul d'images, antécédents et détermination du coefficient a

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Image de c : f(c) = a c. • Antécédent de k (avec a 0) : x = k/a. • Coefficient : a = f(x_1)/x_1, l'image divisée par l'antécédent. • Linéarité : f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) et f(kx) = k\,f(x).

Le cours

1. Image et antécédent Soit f(x) = ax une fonction linéaire de coefficient a 0. L'image d'un nombre c s'obtient en multipliant : f(c) = a c. Un antécédent d'un nombre k est un nombre x tel que ax = k : on divise, x = k/a. Chaque nombre a un seul antécédent. Exemple avec f(x) = -4x : l'image de 2,5 est f(2,5) = -10 ; l'antécédent de 28 est 28/-4 = -7. 2. Déterminer le coefficient Si l'on connaît une image f(x_1) = y_1 avec x_1 0, alors a x_1 = y_1, d'où : a = f(x_1)/x_1 = imageantécédent Exemple : si g(4) = 10, alors a = 10/4 = 2,5 et g(x) = 2,5x. 3. Propriétés de linéarité Pour une fonction linéaire f et pour tous nombres x_1, x_2 et k : f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) f(k\,x_1) = k\,f(x_1) Elles permettent de calculer une image à partir d'une autre, sans connaître a : si f(2) = 7, alors f(6) = 3 7 = 21 et f(8) = f(6) + f(2) = 28. On en déduit aussi f(x_2) - f(x_1) = a\,(x_2 - x_1), ce qui donne a dès que l'on connaît l'écart entre deux images. 4. Méthode 1. Repère ce qui est connu : une image, un antécédent ou l'expression de f. 2. Si l'expression manque, calcule a = imageantécédent et écris f(x) = ax. 3. Pour une image, multiplie par a ; pour un antécédent, résous ax = k en divisant par a. 4. Vérifie en recalculant l'image du nombre trouvé. 5. Attention Le coefficient est l'image divisée par l'antécédent, pas l'inverse : si f(5) = 2, alors a = 2/5 = 0,4 et non 5/2. Pour un antécédent, on divise par a : multiplier par a donnerait une image.

Dans ce chapitre

• Tableaux de proportionnalité et pourcentages de 4ème
• Produit et quotient de nombres relatifs et règle des signes de 4ème
• Multiplication et division de fractions numériques de 4ème
• Définition d'une fonction linéaire : formule f(x) = ax
• Représentation graphique d'une fonction linéaire : droite passant par l'origine
• Calcul d'images, antécédents et détermination du coefficient a
• Fonctions linéaires et pourcentages d'évolution (hausse et baisse)
• Lecture et tracé d'une droite avec le coefficient directeur
• Tableau de valeurs et reconnaissance d'une fonction linéaire — 3ème
• Échelles cartographiques et agrandissements modélisés par une fonction linéaire — 3ème
• Conversions d'unités et de devises modélisées par une fonction linéaire — 3ème
• Taux de TVA et calcul du prix TTC à l'aide d'une fonction linéaire — 3ème
• Programmation d'une fonction linéaire sous Scratch et calcul automatique — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les fonctions linéaires