Représentation graphique d'une fonction linéaire : droite passant par l'origine

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• La courbe de f(x) = ax est la droite passant par O(0\,;\,0) et par A(1\,;\,a). • Un point M(x\,;\,y) est sur cette droite si et seulement si y = ax. • Réciproquement, une droite passant par l'origine (autre que l'axe des ordonnées) représente une fonction linéaire, de coefficient a = y_M/x_M pour tout point M de la droite distinct de O.

Le cours

1. Propriété Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire f(x) = ax est la droite qui passe par l'origine O(0\,;\,0) et par le point A(1\,;\,a). On dit que cette droite a pour équation y = ax : un point M(x\,;\,y) lui appartient si et seulement si y = ax. O11A(1 ; 1,5)B(−4 ; 2)y = 1,5xy = −0,5x Sur la figure, la droite d'équation y = 1,5x passe par O et par A(1\,;\,1,5) ; celle d'équation y = -0,5x passe par O et par B(-4\,;\,2), car -0,5 (-4) = 2. 2. Réciproque Toute droite qui passe par l'origine, à l'exception de l'axe des ordonnées, représente une fonction linéaire. Son coefficient s'obtient avec n'importe quel autre point M(x_M\,;\,y_M) de la droite : a = y_M/x_M. C'est la traduction graphique de la proportionnalité : les points représentant une situation de proportionnalité sont alignés avec l'origine. 3. Méthode : tracer la droite 1. Place l'origine O : elle est toujours sur la droite. 2. Choisis une valeur de x qui rend le calcul simple : pour f(x) = 5/3x, prends x = 3, d'où f(3) = 5 et le point (3\,;\,5). 3. Place ce point et trace la droite qui passe par les deux points, en la prolongeant de part et d'autre de O. 4. Contrôle avec un troisième point, par exemple pour une valeur négative : f(-3) = -5. 4. Attention Un deuxième point trop proche de l'origine donne un tracé imprécis : choisis-le assez loin. Une droite qui ne passe pas par l'origine représente une fonction affine non linéaire, et une courbe qui passe par l'origine sans être une droite (comme celle de x x^2) ne représente pas une fonction linéaire.

Dans ce chapitre

• Tableaux de proportionnalité et pourcentages de 4ème
• Produit et quotient de nombres relatifs et règle des signes de 4ème
• Multiplication et division de fractions numériques de 4ème
• Définition d'une fonction linéaire : formule f(x) = ax
• Représentation graphique d'une fonction linéaire : droite passant par l'origine
• Calcul d'images, antécédents et détermination du coefficient a
• Fonctions linéaires et pourcentages d'évolution (hausse et baisse)
• Lecture et tracé d'une droite avec le coefficient directeur
• Tableau de valeurs et reconnaissance d'une fonction linéaire — 3ème
• Échelles cartographiques et agrandissements modélisés par une fonction linéaire — 3ème
• Conversions d'unités et de devises modélisées par une fonction linéaire — 3ème
• Taux de TVA et calcul du prix TTC à l'aide d'une fonction linéaire — 3ème
• Programmation d'une fonction linéaire sous Scratch et calcul automatique — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les fonctions linéaires