Dérivée des fonctions e^kt

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• (e^kt)' = k\,e^kt : k descend devant l'exponentielle. • (C e^kt + D)' = Ck\,e^kt : C reste en facteur, D disparaît. • Cas pièges : (e^t)' = e^t et (e^-t)' = -e^-t.

Le cours

Rappel du chapitre sur l'exponentielle : dériver e^kt En Première, on a appris à dériver t f(kt) : sa dérivée est t k\,f'(kt). Appliquée à la fonction exponentielle, qui est sa propre dérivée, cette règle donne, pour tout réel k et tout réel t : (e^kt)' = k\,e^kt La constante k « descend » devant l'exponentielle, qui reste inchangée. Cas particuliers : si k = 1, la dérivée de e^t est e^t elle-même ; si k = -1, la dérivée de e^-t est -e^-t. Avec un coefficient multiplicatif ou une constante ajoutée Pour f(t) = C e^kt + D avec C et D constantes : f'(t) = C k\,e^kt + 0 = Ck\,e^kt On dérive e^kt, on multiplie par C, et la constante additive D disparaît. Mini-exemple : (-4e^-0,5t)' = -4 (-0,5)\,e^-0,5t = 2e^-0,5t. Pourquoi ce rappel dans ce chapitre ? Toute la résolution de y' = ay repose sur ce calcul : pour y(t) = Ce^at, on obtient y'(t) = aCe^at = a\,y(t). Savoir dériver Ce^kt sans hésiter, c'est savoir vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle.

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