Bilan 1 : Résolution et condition initiale

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Ordre : forme canonique, équilibre, solution générale, constante C, vérification. • y' + py = q : a = -p, b = q. • t_0 = 0 : C = y_0 + b/a directement. • a < 0 : la solution tend vers l'équilibre.

Le cours

Méthode complète en quatre étapes Forme canonique : coefficient 1 devant y', puis lecture de a et b dans y' = ay + b. Solution générale : équilibre -b/a et y(t) = Ce^at - b/a. Constante : la condition y(t_0) = y_0 donne une équation du premier degré en C. Vérification : dériver, substituer, tester la condition initiale. Tableau des cas Forme y' + py = q : a = -p et b = q. Forme y' + y = : diviser d'abord par . b = 0 : y(t) = Ce^at, équilibre 0. t_0 = 0 : C = y_0 + b/a ; t_0 0 : garder le facteur e^at_0 dans l'équation en C. Comportement en + : si a 0 et C 0, y(t) tend vers . Exemple de synthèse 3y' = -y + 9, y(0) = 1. Forme canonique : y' = -1/3y + 3. Équilibre : -3/-1/3 = 9. Solution générale : y(t) = Ce^-t/3 + 9. Condition initiale : C + 9 = 1, donc C = -8 et y(t) = 9 - 8e^-t/3, qui croît de 1 vers 9.

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