Contrôle par dérivation : vérifier une solution

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À retenir

• Vérifier : calculer y' ET ay + b, puis comparer pour tout t. • Tester aussi y(t_0) = y_0 : deux tests indépendants. • Écart constant : équilibre faux ; écart exponentiel : a faux ; seule la condition échoue : C faux.

Le cours

Dériver pour vérifier Pour contrôler qu'une fonction y est solution du problème y' = ay + b, y(t_0) = y_0, on fait deux tests indépendants : calculer y'(t) en dérivant terme à terme ; calculer séparément ay(t) + b et développer ; comparer : les deux expressions doivent être égales pour tout t ; calculer y(t_0) et le comparer à y_0. Mini-exemple : pour y(t) = 5 - 2e^-t et y' = -y + 5, on a y' = 2e^-t et -y + 5 = -5 + 2e^-t + 5 = 2e^-t : l'équation est vérifiée. Lire l'écart pour localiser l'erreur Quand les deux membres diffèrent, la forme de l'écart oriente le diagnostic. Un écart constant signale un équilibre faux (souvent +b/a au lieu de -b/a). Un écart contenant l'exponentielle signale un coefficient a faux dans l'exposant. Si l'équation passe mais pas la condition initiale, c'est la constante C qui est mal calculée.

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