Équation différentielle linéaire de premier ordre : forme générale et domaine d'existence

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Ordre 1 : seule y' intervient ; linéaire : y et y' au premier degré. • Forme générale : y' + a\,y = b ; au programme, a et b sont des constantes. • Structure : y = y_hom + y_part, puis C par la condition initiale. • Coefficients constants : solutions définies sur R (sur [0 ; +[ pour un temps physique).

Le cours

Vocabulaire d'une équation différentielle Une équation différentielle a pour inconnue une fonction y et relie y à sa dérivée. Elle est : du premier ordre si seule la dérivée première y' intervient ; linéaire si y et y' n'apparaissent qu'au premier degré, sans produit entre elles ni fonction appliquée à y : y' + 3y = 6 l'est, y' = y^2 ou y\,y' = 1 ne le sont pas ; homogène (ou sans second membre) si le second membre est nul : y' + 3y = 0. Forme générale et cas du programme Une équation différentielle linéaire du premier ordre s'écrit, en mettant le coefficient 1 devant y' : y'(t) + a(t)\,y(t) = b(t) où a et b sont des fonctions continues sur un intervalle I. Au programme de Terminale STI2D-STL, a et b sont des constantes ; les coefficients variables ne sont pas au programme. y' + a\,y = 0 (homogène) : y' = -a\,y, solutions y = Ce^-at. y' + a\,y = b avec a 0 : solutions y = Ce^-at + b/a. Structure des solutions y = y_hom + y_part Résoudre l'équation homogène associée y' + a\,y = 0 : famille y_hom = Ce^-at. Trouver une solution particulière de l'équation complète ; avec un second membre constant, on cherche une constante k : 0 + ak = b. Additionner, puis déterminer C avec la condition initiale. Existence et unicité (admis) : pour tout t_0 et toute valeur y_0, il existe une unique solution vérifiant y(t_0) = y_0. Domaine d'existence Avec des coefficients constants, les solutions sont définies et dérivables sur R tout entier. Dans un problème physique où t est un temps compté à partir de la mise sous tension ou de l'instant initial, on se limite à I = [0 ; +[.

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