Interprétation géométrique des équations différentielles : champ de directions et courbes intégrales

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À retenir

• Champ de directions : en chaque point (t ; y), segment de pente y' = f(t,y). • Courbe intégrale : courbe d'une solution, tangente au champ en chaque point ; deux courbes distinctes ne se coupent pas. • Isocline de pente k : points où f(t,y) = k ; pour y' = ay + b, droites horizontales. • Équilibre y^* = -b/a : stable si a 0.

Le cours

Champ de directions L'équation y' = f(t, y) associe à chaque point (t ; y) du plan un nombre réel f(t, y) : c'est la pente de la tangente à la courbe de la solution passant par ce point. On représente cela par un champ de directions : en chaque point d'une grille, on trace un petit segment de pente f(t, y). L'ensemble de ces segments dessine l'allure de toutes les solutions, sans les calculer. Pour y' = ay + b, la pente ay + b ne dépend que de y : les segments sont identiques le long de chaque droite horizontale. Courbes intégrales Une courbe intégrale est la courbe représentative d'une solution y(t). En chacun de ses points, elle est tangente au segment du champ. D'après le théorème d'existence et d'unicité (admis), deux courbes intégrales distinctes ne se coupent jamais. La condition initiale y(t_0) = y_0 sélectionne la courbe intégrale passant par le point (t_0 ; y_0). Isoclines Une isocline de pente k est l'ensemble des points (t ; y) tels que f(t, y) = k : tous les segments du champ y ont la même inclinaison. Pour y' = ay + b (a 0), ce sont les droites horizontales y = k - b/a. Isocline nulle (k = 0) : les segments y sont horizontaux. Pour y' = ay + b, c'est la droite y = -b/a, qui est elle-même une courbe intégrale (la solution d'équilibre). Les autres solutions ne la coupent jamais : elles restent strictement d'un même côté et sont monotones, sans maximum ni minimum. Méthode de tracé qualitatif : calculer f(t, y) aux nœuds de la grille ; tracer les segments de pentes correspondantes ; partir du point initial et suivre les segments de proche en proche : on obtient une courbe intégrale approchée. Solution d'équilibre et stabilité Une solution d'équilibre est une solution constante y(t) = y^* : y' = 0, soit f(t, y^*) = 0. Pour y' = ay + b : y^* = -b/a. Si a stable. Si a > 0, elles s'en éloignent : il est instable.

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