Condition initiale : déterminer la constante C

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À retenir

• y(t_0) = y_0 détermine C par substitution. • En t_0 = 0 : C = y_0 + b/a. • Forme pratique : y(t) = y_eq + (y_0 - y_eq)\,e^a(t - t_0). • Unicité : une seule solution passe par un point donné.

Le cours

Utiliser y(t_0) = y_0 La solution générale y(t) = Ce^at - b/a contient une constante C. La condition initiale y(t_0) = y_0 la détermine : on remplace t par t_0, on égale à y_0 et on résout l'équation du premier degré en C : Ce^at_0 - b/a = y_0 C = (y_0 + b/a)e^-at_0 Cas fréquent t_0 = 0 : comme e^0 = 1, on obtient directement C = y_0 + b/a. Existence et unicité (admis) Pour y' = ay + b, il existe une et une seule solution vérifiant une condition initiale donnée : deux solutions distinctes ne peuvent pas passer par le même point (t_0 ; y_0). C'est ce qui permet de parler de « la » solution d'un problème physique (tension, courant, température) dès que l'état initial est connu. Forme pratique à partir de l'équilibre En notant y_eq = -b/a, la solution s'écrit y(t) = y_eq + (y_0 - y_eq)\,e^a(t - t_0) : l'écart initial à l'équilibre est multiplié par une exponentielle. Exemple : y' = -y + 1, y(2) = 3 donne y(t) = 1 + 2e^-(t-2).

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