Équation y' = ay : solutions exponentielles

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• y' = ay : solutions y(t) = C e^at, C réel quelconque. • a 0 et C > 0 : croissance exponentielle. • a = 0 : solutions constantes. • Toujours réécrire sous la forme y' = ay avant de lire a.

Le cours

Solutions de y' = ay Pour a réel fixé, les solutions sur R de l'équation y' = ay sont exactement les fonctions : y(t) = C e^at (C R) On vérifie qu'elles conviennent : (Ce^at)' = aCe^at = a\,y(t). Il y a une infinité de solutions, une par valeur de C ; la fonction nulle (C = 0) en fait partie. Reconnaître la forme et lire a L'équation doit être sous la forme « dérivée égale constante fois fonction » : y' = -3y donne a = -3. Si l'équation s'écrit y' + 2y = 0, on la réécrit d'abord y' = -2y : ici a = -2. Si elle s'écrit 4y' = y, on divise par 4 : y' = 0,25\,y, donc a = 0,25. Comportement des solutions a > 0 : pour C > 0, y croît très vite vers + (croissance exponentielle) ; pour C a 0, croissante si C a = 0 : e^0t = 1, les solutions sont les fonctions constantes y = C.

Dans ce chapitre