Résolution de y' = ay + b

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• y' = ay + b avec a 0 : équilibre y_p = -b/a. • Solutions : y(t) = Ce^at - b/a, C réel. • Forme y' + py = q : a = -p et b = q. • a = 0 : y(t) = bt + C.

Le cours

Solution d'équilibre et solution générale Pour y' = ay + b avec a 0, la solution constante (l'équilibre) vérifie 0 = ay + b, d'où y_p = -b/a. Toutes les solutions s'écrivent alors : y(t) = C e^at - b/a (C R) Pourquoi ? L'écart z = y - y_p vérifie z' = y' = ay + b = a(z + y_p) + b = az, car ay_p + b = 0. Donc z = Ce^at : on retrouve l'équation y' = ay. Méthode et forme y' + py = q Mettre l'équation sous la forme y' = ay + b (coefficient 1 devant y'). Lire a et b avec leurs signes. Calculer l'équilibre -b/a. Écrire y(t) = Ce^at - b/a. Si l'équation s'écrit y' + py = q, on isole y' : y' = -py + q, donc a = -p et b = q. Exemple : y' + 2y = 6 donne a = -2, b = 6, équilibre 3. Cas particulier a = 0 Si a = 0, l'équation devient y' = b : il n'y a pas d'équilibre (sauf si b = 0) et la formule -b/a n'a pas de sens. Les solutions sont les fonctions affines y(t) = bt + C.

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