Forme développée et forme canonique

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Forme développée : P(x) = ax^2 + bx + c avec a 0. • Forme canonique : P(x) = a(x - )^2 + avec = -b/2a et = P(). • Le sommet de la parabole est S( ; ) et son axe de symétrie est la droite d'équation x = . • Si a > 0, est le minimum de P ; si a < 0, est son maximum.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Une fonction polynôme du second degré est définie sur R par sa **forme développée** : P(x) = ax^2 + bx + c (a 0) Toute fonction du second degré peut s'écrire sous **forme canonique** : P(x) = a(x - )^2 + avec = -b/2a et = P() = -b^2 - 4ac/4a. Le point S( ; ) est le sommet de la parabole représentative. ### 2. Représentation visuelle et schéma clé Parabole y = ax² + bx + c (a > 0, Δ > 0) 2 racines réelles x y O Axe x = α 𝒫 β α Sommet S(α ; β) x₁ x₂ Δ > 0 : deux racines réelles distinctes • a > 0 : branches tournées vers le haut ### 3. Méthode : obtenir la forme canonique en complétant le carré 1. Mettre a en facteur dans les termes en x : ax^2 + bx + c = a(x^2 + b/ax) + c. 2. Reconnaître le début d'un carré : x^2 + px = (x + p/2)^2 - (p/2)^2. 3. Redistribuer a et réduire les constantes. Mini-exemple : x^2 + 4x + 1 = (x + 2)^2 - 4 + 1 = (x + 2)^2 - 3, donc = -2, = -3 et le sommet est S(-2 ; -3). ### 4. Ce que dit la forme canonique - Si a > 0 : a(x - )^2 0, donc P(x) pour tout réel x : est le **minimum** de P, atteint en x = . - Si a < 0 : a(x - )^2 0, donc P(x) : est le **maximum** de P, atteint en x = . - La droite d'équation x = est l'**axe de symétrie** de la parabole. - Chaque forme a son usage : la forme développée donne directement P(0) = c, la forme canonique donne le sommet et l'extremum.

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