Discriminant et nombre de racines

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Discriminant : = b^2 - 4ac. • > 0 : deux racines x_1 = -b - 2a et x_2 = -b + 2a. • = 0 : une racine double x_0 = -b/2a. • < 0 : aucune racine réelle.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit le trinôme P(x) = ax^2 + bx + c avec a 0. Le **discriminant** est le nombre réel noté défini par : = #d97706b^2 - 4#2563eba#059669c Le nombre de racines réelles de l'équation ax^2 + bx + c = 0 dépend du signe de : - Si > 0 : deux racines réelles distinctes : x_1 = -b - 2a et x_2 = -b + 2a - Si = 0 : une racine double : x_0 = -b/2a. - Si < 0 : aucune racine réelle dans R. ### 2. Méthode de résolution de ax^2 + bx + c = 0 1. Ramener l'équation à la forme ax^2 + bx + c = 0 et lire a, b, c **avec leur signe**. 2. Calculer = b^2 - 4ac. 3. Conclure sur le nombre de solutions selon le signe de . 4. Si 0, calculer les racines en simplifiant quand c'est possible. Mini-exemples : pour x^2 - 6x + 9 = 0, = 36 - 36 = 0, d'où une racine double x_0 = 3. Pour 3x^2 + x + 1 = 0, = 1 - 12 = -11 < 0 : aucune solution réelle. ### 3. D'où vient le discriminant ? En complétant le carré, on obtient ax^2 + bx + c = a[(x + b/2a)^2 - /4a^2]. - Si < 0, le crochet est la somme d'un carré et d'un nombre strictement positif : il ne s'annule jamais. - Si 0, le crochet est une différence de deux carrés, que l'on factorise : on retrouve les formules des racines.

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