Dérivée du trinôme ax² + bx + c

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b : la dérivée d'un trinôme est une fonction affine. • f'(x_0) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x_0. • f'(x) = 0 x = -b/2a, abscisse du sommet de la parabole.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit f(x) = ax^2 + bx + c une fonction polynôme du second degré avec a 0. f est dérivable sur R et sa dérivée est une fonction affine : f'(x) = 2ax + b La dérivée s'annule en un point unique : f'(x) = 0 2ax + b = 0 x = -b/2a Ce point correspond exactement à l'abscisse du sommet de la parabole. ### 2. Nombre dérivé et tangente Pour tout réel x_0, f'(x_0) = 2ax_0 + b est le **coefficient directeur de la tangente** à la parabole au point d'abscisse x_0. Mini-exemple : pour f(x) = -x^2 + 2x + 3, f'(x) = -2x + 2, donc f'(0) = 2, f'(1) = 0 et f'(3) = -4 : la tangente monte en 0, est horizontale en 1 et descend en 3. ### 3. Signe de la dérivée et variations f' est une fonction affine de coefficient directeur 2a : - si a > 0, f'(x) 0 : f décroît puis croît ; - si a < 0, c'est l'inverse : f croît puis décroît. ### 4. Règles utilisées (x^2)' = 2x, (x)' = 1, la dérivée d'une constante est nulle et (k\,u)' = k\,u' pour un réel k. Par exemple, (-3x^2 + 5)' = -6x.

Dans ce chapitre