Tangente à une parabole et position relative

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Tangente au point d'abscisse x_0 : y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). • Écart entre la parabole et sa tangente : f(x) - y_T = a(x - x_0)^2. • Si a > 0, la parabole est au-dessus de chacune de ses tangentes ; si a < 0, elle est en dessous.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit la parabole P d'équation y = ax^2 + bx + c et un point A(x_0 ; f(x_0)). 1. L'équation de la tangente T en A est : y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). 2. Pour étudier la **position relative** de la parabole P par rapport à sa tangente T, on étudie le signe de la différence d(x) = f(x) - y_T. On démontre que : d(x) = a(x - x_0)^2 - Si a > 0, alors d(x) 0 pour tout x : la parabole est **entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes**. - Si a < 0, alors d(x) 0 : la parabole est **entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes**. ### 2. Méthode 1. Calculer f(x_0) et f'(x_0). 2. Écrire y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0), puis développer et réduire. 3. Pour la position relative, calculer la différence d(x) = f(x) - y_T et l'écrire sous la forme a(x - x_0)^2. 4. Conclure avec le signe de a. ### 3. Pourquoi d(x) = a(x - x_0)^2 ? D'une part, f(x) - f(x_0) = a(x^2 - x_0^2) + b(x - x_0) = (x - x_0)(a(x + x_0) + b). D'autre part, f'(x_0)(x - x_0) = (x - x_0)(2ax_0 + b). En soustrayant : d(x) = (x - x_0)(ax + ax_0 + b - 2ax_0 - b) = (x - x_0)(ax - ax_0) = a(x - x_0)^2.

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