Fonction carré et parabole de Seconde

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Parité : (-x)^2 = x^2 ; la parabole y = x^2 admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie. • Sens de variation : décroissante sur ]- ; 0], croissante sur [0 ; +[, minimum 0 en x = 0. • Équation x^2 = k : aucune solution si k 0.

Le cours

La fonction carré f(x) = x^2 est la référence incontournable pour aborder les trinômes du second degré en Première. Sa courbe représentative est une parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, de sommet l'origine O(0 ; 0). Quelques valeurs : f(-3) = f(3) = 9, f(-2) = f(2) = 4, f(-1) = f(1) = 1 et f(0) = 0. Deux nombres opposés ont le même carré : (-x)^2 = x^2. Elle est strictement décroissante sur ]- ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +[. Pour tout réel x, x^2 0 : le minimum de la fonction carré est 0, atteint en x = 0. Sur [0 ; +[, les carrés sont rangés dans le même ordre : si 0 a Sur ]- ; 0], l'ordre est inversé : si a b^2 (par exemple (-5)^2 > (-2)^2). Pour k > 0 : x^2 = k x = -k ou x = k ; x^2 k x k. Graphiquement, résoudre x^2 < k revient à chercher les abscisses des points de la parabole situés sous la droite horizontale d'équation y = k.

Dans ce chapitre

• Développements, identités remarquables et équations produit-nul de Seconde
• Fonction carré et parabole de Seconde
• Factorisation par facteur commun et identités remarquables de Seconde
• Forme développée et forme canonique
• Discriminant et nombre de racines
• Forme factorisée d'un trinôme
• Somme et produit des racines
• Résolution d'équations et modélisation
• Signe du trinôme du second degré
• Résolution d'inéquations du second degré
• Dérivée du trinôme ax² + bx + c
• Sommet de la parabole par dérivation
• Tableau de variation du second degré
• Tangente à une parabole et position relative
• Bilan : Synthèse et méthode sur Le second degré