Factorisation par facteur commun et identités remarquables de Seconde

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Facteur commun : ka + kb = k(a + b), avec (b - a) = -(a - b) pour faire apparaître un facteur caché. • Différence de deux carrés : a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). • Carré parfait : a^2 2ab + b^2 = (a b)^2, à confirmer par le double produit. • La somme de deux carrés a^2 + b^2 ne se factorise pas dans R.

Le cours

La factorisation d'expressions littérales est la compétence clé pour résoudre les équations de degré 2 sans formule générale, ou pour transformer une expression en produit de facteurs du premier degré. On utilise deux techniques fondamentales : la recherche d'un facteur commun (distributivité ka + kb = k(a + b)) et les trois identités remarquables : a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) en revanche, la somme de deux carrés a^2 + b^2 ne se factorise pas dans R. Méthode pour factoriser une expression : Chercher un facteur commun, éventuellement caché : (x + 1)^2 + (x + 1) = (x + 1)[(x + 1) + 1] = (x + 1)(x + 2), en pensant au facteur 1 sous-entendu. Sinon, reconnaître une identité : deux carrés séparés par un signe moins donnent (a - b)(a + b) ; trois termes dont deux carrés donnent un carré parfait, à confirmer par le double produit 2ab. Contrôler en développant le résultat ou en remplaçant x par une valeur simple. Exemples : 9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x - 4)(3x + 4) et x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2, car 2 x 5 = 10x.

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