Résolution d'équations et modélisation

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Ramener l'équation à la forme ax^2 + bx + c = 0 avant toute résolution. • Si b = 0 ou c = 0, isoler x^2 ou factoriser par x est plus rapide que le discriminant. • Avec une inconnue au dénominateur, écarter d'abord les valeurs interdites. • En modélisation, ne garder que les solutions compatibles avec le contexte (longueur positive, quantité dans l'intervalle imposé).

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Pour résoudre une équation se ramenant au second degré : 1. Tout transposer dans un membre pour obtenir la forme standard ax^2 + bx + c = 0. 2. Calculer le discriminant = #d97706b^2 - 4#2563eba#059669c ou factoriser par une identité remarquable si possible. 3. Conclure selon le signe de . Dans un problème de modélisation (géométrie, optimisation, physique, économie) : - Définir clairement la variable x et son ensemble de définition (ex : une longueur x > 0). - Mettre le problème en équation, résoudre, et éliminer les solutions mathématiques non admissibles dans le contexte. ### 2. Choisir la méthode la plus rapide - Si c = 0 : factoriser par x, par exemple 3x^2 - 12x = 0 3x(x - 4) = 0 x = 0 ou x = 4. - Si b = 0 : isoler x^2, par exemple 2x^2 - 50 = 0 x^2 = 25 x = -5 ou x = 5. - Si une identité remarquable apparaît : x^2 - 10x + 25 = 0 (x - 5)^2 = 0 x = 5. - Sinon : calculer le discriminant. ### 3. Équations qui se ramènent au second degré - **Inconnue au dénominateur** : on écarte d'abord les valeurs interdites, puis on multiplie. Pour x 0, x + 2/x = 3 x^2 + 2 = 3x x^2 - 3x + 2 = 0, dont les solutions 1 et 2 sont bien différentes de 0. - **Équation bicarrée** : en posant X = x^2, on obtient une équation du second degré en X ; on résout ensuite x^2 = X pour chaque solution X positive ou nulle. - **Intersection de deux courbes** : les abscisses des points communs aux courbes de f et de g sont les solutions de f(x) = g(x).

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