Développements, identités remarquables et équations produit-nul de Seconde

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Ne jamais oublier le double produit 2ab dans (a b)^2. • Différence de deux carrés : a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). • Équation produit nul : A B = 0 A = 0 ou B = 0. • Pour résoudre une équation qui n'est pas du premier degré : tout ramener à = 0, factoriser, puis appliquer la règle du produit nul.

Le cours

Développer : la distributivité Développer, c'est transformer un produit en somme. Pour tous réels k, a, b, c, d : k(a + b) = ka + kb (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemple : (x + 3)(2x - 1) = 2x^2 - x + 6x - 3 = 2x^2 + 5x - 3. On réduit ensuite en regroupant les termes de même degré. Identités remarquables Pour tous réels a et b : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 Factorisation et équation produit-nul Factoriser consiste à transformer une somme en un produit, soit par un facteur commun : k a + k b = k(a + b), soit par une identité remarquable comme a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Règle du produit-nul : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul : A B = 0 A = 0 ou B = 0 Méthode : résoudre une équation par le produit nul Tout ramener dans un seul membre pour obtenir = 0. Factoriser ce membre (facteur commun ou identité remarquable). Écrire que l'un des facteurs est nul et résoudre chaque équation du premier degré. Vérifier les solutions en les remplaçant dans l'équation de départ. Exemple : x^2 = 5x x^2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0 x = 0 ou x = 5. Diviser par x aurait fait perdre la solution 0.

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