Sommet de la parabole par dérivation

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Au sommet, la tangente est horizontale : f'(x_S) = 0. • x_S = -b/2a et y_S = f(x_S) = -/4a. • Le signe de f' autour de x_S indique un minimum (si a > 0) ou un maximum (si a < 0).

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental La courbe représentative de f(x) = ax^2 + bx + c est une parabole. Au sommet S de la parabole, la tangente est horizontale, donc son coefficient directeur est nul : f'(x_S) = 0. 1. **Abscisse du sommet** : 2a x_S + b = 0 x_S = -b/2a. 2. **Ordonnée du sommet** : y_S = f(x_S) = f(-b/2a) = -b^2 - 4ac/4a = -/4a. Le sommet est le point S(-b/2a ; f(-b/2a)). ### 2. Méthode pour trouver le sommet par dérivation 1. Calculer f'(x) = 2ax + b. 2. Résoudre f'(x) = 0 : on obtient l'abscisse x_S. 3. Étudier le signe de f' de part et d'autre de x_S pour savoir si f(x_S) est un minimum ou un maximum. 4. Calculer y_S = f(x_S) en remplaçant x par x_S dans l'expression de départ. ### 3. Lien avec les racines Lorsque la parabole coupe l'axe des abscisses en x_1 et x_2, le sommet est à égale distance des deux racines : x_S = x_1 + x_2/2. Mini-exemple : f(x) = (x - 1)(x - 7) = x^2 - 8x + 7 donne f'(x) = 2x - 8, qui s'annule en x_S = 4 = 1 + 7/2, et y_S = f(4) = 3 (-3) = -9.

Dans ce chapitre

• Développements, identités remarquables et équations produit-nul de Seconde
• Fonction carré et parabole de Seconde
• Factorisation par facteur commun et identités remarquables de Seconde
• Forme développée et forme canonique
• Discriminant et nombre de racines
• Forme factorisée d'un trinôme
• Somme et produit des racines
• Résolution d'équations et modélisation
• Signe du trinôme du second degré
• Résolution d'inéquations du second degré
• Dérivée du trinôme ax² + bx + c
• Sommet de la parabole par dérivation
• Tableau de variation du second degré
• Tangente à une parabole et position relative
• Bilan : Synthèse et méthode sur Le second degré