Somme et produit des racines

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• x_1 + x_2 = -b/a et x_1 x_2 = c/a, lorsque le trinôme a des racines ( 0). • Si a + b + c = 0, 1 est racine et l'autre racine vaut c/a ; si a - b + c = 0, -1 est racine et l'autre vaut -c/a. • Deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de X^2 - SX + P = 0.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Si le trinôme ax^2 + bx + c admet deux racines (distinctes ou confondues) x_1 et x_2, alors : - Leur **somme** est : S = x_1 + x_2 = -b/a - Leur **produit** est : P = x_1 x_2 = c/a **Applications** : 1. Trouver une racine évidente (1, -1, 2, ) et en déduire immédiatement la seconde sans calculer . 2. Trouver deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P : ce sont les solutions de l'équation X^2 - SX + P = 0. ### 2. Méthode : racine évidente et seconde racine 1. Tester des valeurs simples : 1 est racine si et seulement si a + b + c = 0 ; -1 est racine si et seulement si a - b + c = 0 ; on peut aussi essayer 2 ou -2. 2. Déduire la seconde racine par le produit, x_2 = c/a\,x_1, ou par la somme, x_2 = -b/a - x_1. 3. Vérifier avec l'autre relation. Mini-exemple : pour x^2 + 3x - 4, on a 1 + 3 - 4 = 0, donc x_1 = 1, puis x_2 = -4/1 1 = -4. Contrôle par la somme : 1 + (-4) = -3 = -b/a. ### 3. Pourquoi ces formules ? Avec x_1 = -b - 2a et x_2 = -b + 2a, la somme vaut -2b/2a = -b/a et le produit vaut b^2 - /4a^2 = 4ac/4a^2 = c/a. **Attention :** ces relations ne servent que si le trinôme a des racines ( 0). Pour x^2 + x + 1, on calculerait une « somme » -1 et un « produit » 1, alors qu'il n'y a aucune racine réelle ( = -3).

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