Bilan : Synthèse et méthode sur Le second degré

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Règle d'or des signes : Un trinôme est « du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe de -a entre les racines » lorsque > 0. • Somme et produit des racines : S = x_1 + x_2 = -b/a et P = x_1 x_2 = c/a. • N'oublie JAMAIS le coefficient a devant les facteurs : f(x) = a(x - x_1)(x - x_2).

Le cours

Le trinôme du second degré f(x) = ax^2 + bx + c (a 0) est l'un des outils les plus utilisés de tout le lycée. Voici la synthèse complète : racines, factorisation et tableau de signes. L'algorithme complet du discriminant = b^2 - 4ac Aucune racine réelle. Pas de factorisation dans R. Signe constant : du signe de a partout sur R. = 0 Une racine double : x_0 = -b/2a. Forme factorisée : a(x - x_0)^2. Du signe de a partout, sauf en x_0 où il s'annule. > 0 Deux racines distinctes : x_1, 2 = -b 2a. Forme : a(x - x_1)(x - x_2). Signe de a à l'extérieur des racines, signe de -a à l'intérieur. Propriétés géométriques de la parabole Sommet de la parabole : point S( ; ) avec = -b/2a et = f(). Axe de symétrie vertical : droite d'équation x = . Orientation : branches tournées vers le haut si a > 0 (forme en U, minimum en S), vers le bas si a Choisir la forme adaptée à la question Forme développée ax^2 + bx + c : image de 0 (f(0) = c), dérivée f'(x) = 2ax + b, calcul de . Forme canonique a(x - )^2 + : sommet, extremum, sens de variation. Forme factorisée a(x - x_1)(x - x_2) : racines, tableau de signes, simplification de quotients. Réflexe de méthode : lire a, b, c avec leurs signes, calculer , conclure, puis vérifier un résultat par substitution d'une valeur simple.

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