Forme factorisée d'un trinôme

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• > 0 : P(x) = a(x - x_1)(x - x_2). • = 0 : P(x) = a(x - x_0)^2. • < 0 : pas de factorisation en facteurs du premier degré dans R.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental La factorisation de P(x) = ax^2 + bx + c dépend du discriminant : - Si > 0 : P(x) = a(x - x_1)(x - x_2), où x_1 et x_2 sont les deux racines distinctes. - Si = 0 : P(x) = a(x - x_0)^2, où x_0 = -b/2a est la racine double. - Si < 0 : le trinôme P(x) **ne peut pas être factorisé** en produit de facteurs du premier degré dans R. ### 2. Méthode pour factoriser un trinôme 1. Calculer puis, s'il est positif ou nul, la ou les racines. 2. Écrire la forme factorisée **sans oublier le coefficient a** devant le produit. 3. Surveiller les signes : une racine négative x_1 = -2 donne le facteur (x + 2). 4. Contrôler : en x = 0, la forme factorisée doit redonner c. Mini-exemple : x^2 - x - 6 a pour discriminant = 1 + 24 = 25 et pour racines -2 et 3, donc x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3). Contrôle : (0 + 2)(0 - 3) = -6 = c. ### 3. Pourquoi aucune factorisation quand < 0 ? Si l'on pouvait écrire P(x) = a(x - r)(x - s) avec r et s réels, on aurait P(r) = 0 : P aurait une racine réelle, ce qui est impossible quand < 0. Par exemple, x^2 + x + 1 ( = -3) ne se factorise pas dans R. ### 4. À quoi sert la forme factorisée ? Elle donne immédiatement les racines (règle du produit nul), permet de simplifier des quotients et de dresser un tableau de signes facteur par facteur.

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