Longueur d'un arc de cercle, rayon et angle au centre de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques STL 1ère

À retenir

• La longueur L de l'arc de cercle intercepté par un angle au centre vaut L = R ( en radians). • En degrés : L = 2 R /360 = R /180. • Le radian est l'angle pour lequel la longueur de l'arc est égale au rayon du cercle.

Le cours

1. Définition de l'angle au centre et proportionnalité Dans un cercle de rayon R, un angle au centre est un angle dont le sommet coïncide avec le centre O du cercle. La longueur L de l'arc de cercle intercepté par cet angle est directement proportionnelle à la mesure de cet angle au centre. Périmètre complet du cercle (pour un tour de 360^ ou 2\ rad) : -slate-800 leading-relaxed = 2 R Relation fondamentale en radians : L = R (avec en radians) 2. Conversion d'unités et formule en degrés Lorsque l'angle au centre est exprimé en degrés, on utilise la proportionnalité par rapport au tour complet de 360^ : L = 2 R /360 = R /180 Le radian est l'unité naturelle d'angle pour laquelle la longueur de l'arc intercepté est exactement égale au rayon lorsque l'angle vaut 1\ radian (L = R 1 = R). Cette propriété est au cœur de l'étude des signaux circulaires et de la vitesse angulaire en laboratoire. 3. Erreur fréquente d'unité d'angle Ne jamais appliquer la formule directe L = R avec un angle en degrés sans conversion préalable ! Si l'angle est donné en degrés, vous devez impérativement le convertir en radians via = /180 ou utiliser la formule fractionnaire sur 360^.

Dans ce chapitre

• Trigonométrie du triangle rectangle, angles et proportionnalité de Seconde
• Longueur d'un arc de cercle, rayon et angle au centre de Seconde
• Phénomènes périodiques et identification d'un motif élémentaire de Seconde
• Enroulement de la droite numérique et mesure d'un angle en radians (STL)
• Cercle trigonométrique, repérage et cosinus et sinus remarquables (STL)
• Fonctions sinusoïdales, pulsation et amplitude
• Période, fréquence et relation f = 1/T d'un signal périodique en STL
• Pulsation omega et relation avec la période omega = 2pi/T en STL
• Modèle mathématique du signal sinusoïdal s(t) = A cos(omega t + phi) en laboratoire
• Amplitude A et valeur crête-à-crête d'une tension ou d'une intensité alternative en STL
• Déphasage phi et avance ou retard de phase entre deux signaux sinusoïdaux en STL
• Valeur moyenne d'un signal périodique et composante continue en STL
• Valeur efficace d'un signal sinusoïdal et relation U_eff = U_max / 2 en STL
• Dérivation de la fonction sinusoïdale et vitesse de variation en STL
• Exploitation d'un oscillogramme : lecture de la période, de l'amplitude et de la phase en STL
• Bilan : Synthèse et méthode sur Signaux périodiques & Fonctions circulaires (STL)