Dérivation de la fonction sinusoïdale et vitesse de variation en STL

1ère Technologique · Mathématiques STL 1ère

À retenir

• **Formules de dérivation** : - (A ( t + ))' = -A ( t + ) = A ( t + + /2). - (A ( t + ))' = A ( t + ). • **Amplitude de la dérivée** : S'_ = A. • **Sens physique** : Tension induite dans une bobine (u_L = L di/dt) ou courant dans un condensateur (i_C = C du/dt).

Le cours

1. Dérivée d'un signal sinusoïdal La dérivée s'(t) d'un signal mesure sa vitesse de variation à l'instant t (en V/s pour une tension). Pour les signaux sinusoïdaux, on admet les formules : (A( t + ))' = -A( t + ) (A( t + ))' = A( t + ) Exemple : s(t) = 2(50t) a pour dérivée s'(t) = -100(50t). 2. Ce que dit la dérivée • La dérivée est encore sinusoïdale, de même pulsation , d'amplitude A : la vitesse de variation maximale vaut A. • Elle est en avance de /2 sur le signal, car -() = ( + /2). • Elle s'annule aux sommets et aux creux du signal (tangente horizontale) et elle est maximale en valeur absolue quand le signal passe par zéro. 3. Méthode et applications 1. Identifier A, et dans l'expression. 2. Appliquer la formule en multipliant par et en changeant cosinus en sinus (avec le signe - pour la dérivée du cosinus). 3. Exploiter : courant dans un condensateur i = C\,du/dt, tension aux bornes d'une bobine u = L\,di/dt. 4. Attention Plus la fréquence est élevée, plus le signal varie vite : à amplitude égale, multiplier par 10 multiplie la vitesse de variation maximale par 10.

Dans ce chapitre

• Trigonométrie du triangle rectangle, angles et proportionnalité de Seconde
• Longueur d'un arc de cercle, rayon et angle au centre de Seconde
• Phénomènes périodiques et identification d'un motif élémentaire de Seconde
• Enroulement de la droite numérique et mesure d'un angle en radians (STL)
• Cercle trigonométrique, repérage et cosinus et sinus remarquables (STL)
• Fonctions sinusoïdales, pulsation et amplitude
• Période, fréquence et relation f = 1/T d'un signal périodique en STL
• Pulsation omega et relation avec la période omega = 2pi/T en STL
• Modèle mathématique du signal sinusoïdal s(t) = A cos(omega t + phi) en laboratoire
• Amplitude A et valeur crête-à-crête d'une tension ou d'une intensité alternative en STL
• Déphasage phi et avance ou retard de phase entre deux signaux sinusoïdaux en STL
• Valeur moyenne d'un signal périodique et composante continue en STL
• Valeur efficace d'un signal sinusoïdal et relation U_eff = U_max / 2 en STL
• Dérivation de la fonction sinusoïdale et vitesse de variation en STL
• Exploitation d'un oscillogramme : lecture de la période, de l'amplitude et de la phase en STL
• Bilan : Synthèse et méthode sur Signaux périodiques & Fonctions circulaires (STL)