Enroulement de la droite numérique et mesure d'un angle en radians (STL)

1ère Technologique · Mathématiques STL 1ère

À retenir

• **Relation fondamentale** : 180^ = rad et 360^ = 2 rad. • **Formules de conversion** : (rad) = d (degrés) /180 et d = 180/ • **Angles de référence** : - 30^ = /6 rad ; 45^ = /4 rad ; 60^ = /3 rad ; 90^ = /2 rad.

Le cours

1. Le cercle trigonométrique et l'enroulement Dans un repère orthonormé (O\,;\,I,\,J), le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct). Sa longueur vaut 2 1 = 2. On « enroule » la droite des réels autour de ce cercle en plaçant le 0 sur le point I(1\,;\,0) : à chaque réel x correspond un unique point M du cercle, obtenu en parcourant un arc de longueur |x| à partir de I, dans le sens direct si x > 0, dans le sens indirect si x 2. Le radian Un angle de 1 radian est un angle au centre qui intercepte, sur un cercle de rayon 1, un arc de longueur 1. Plus généralement, sur un cercle de rayon R, un angle de radians intercepte un arc de longueur = R\,. Le demi-tour vaut rad, le tour complet 2 rad. 180^ = rad _rad = d /180 d = _rad 180/ 3. Méthode de conversion 1. Degrés vers radians : simplifier la fraction d/180 puis multiplier par . Exemple : 72^, 72/180 = 2/5, donc 72^ = 2/5 rad. 2. Radians vers degrés : remplacer par 180^. Exemple : 3/4 = 3 180^/4 = 135^. 3. Radians sans : multiplier par 180/ 57,3. Exemple : 1,5 rad 85,9^. 4. Attention En STL, la phase t + d'un signal s'exprime toujours en radians : toute calculatrice utilisée pour évaluer ( t + ) doit être en mode radian. Un angle comme 2 rad (environ 115^) n'est pas un angle « petit » : ne confondez pas 2 rad et 2^.

Dans ce chapitre

• Trigonométrie du triangle rectangle, angles et proportionnalité de Seconde
• Longueur d'un arc de cercle, rayon et angle au centre de Seconde
• Phénomènes périodiques et identification d'un motif élémentaire de Seconde
• Enroulement de la droite numérique et mesure d'un angle en radians (STL)
• Cercle trigonométrique, repérage et cosinus et sinus remarquables (STL)
• Fonctions sinusoïdales, pulsation et amplitude
• Période, fréquence et relation f = 1/T d'un signal périodique en STL
• Pulsation omega et relation avec la période omega = 2pi/T en STL
• Modèle mathématique du signal sinusoïdal s(t) = A cos(omega t + phi) en laboratoire
• Amplitude A et valeur crête-à-crête d'une tension ou d'une intensité alternative en STL
• Déphasage phi et avance ou retard de phase entre deux signaux sinusoïdaux en STL
• Valeur moyenne d'un signal périodique et composante continue en STL
• Valeur efficace d'un signal sinusoïdal et relation U_eff = U_max / 2 en STL
• Dérivation de la fonction sinusoïdale et vitesse de variation en STL
• Exploitation d'un oscillogramme : lecture de la période, de l'amplitude et de la phase en STL
• Bilan : Synthèse et méthode sur Signaux périodiques & Fonctions circulaires (STL)