Cercle trigonométrique, repérage et cosinus et sinus remarquables (STL)

1ère Technologique · Mathématiques STL 1ère

À retenir

• **Définition sur le cercle** : Si M est le point repéré par x, alors M((x) ; (x)). • **Relation fondamentale pythagoricienne** : ^2(x) + ^2(x) = 1 • **Périodicité et parité** : - (x + 2) = (x) et (x + 2) = (x) (période 2). - (-x) = (x) (paire) et (-x) = -(x) (impaire). • **Valeurs remarquables du premier quadrant** : - (0) = 1, (0) = 0 - (/6) = 3/2, (/6) = 1/2 - (/4) = 2/2, (/4) = 2/2 - (/3) = 1/2, (/3) = 3/2 - (/2) = 0, (/2) = 1.

Le cours

1. Cosinus et sinus d'un réel Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel x par l'enroulement. Par définition, le cosinus de x est l'abscisse de M et le sinus de x est son ordonnée : M((x)\,;\,(x)). -1 (x) 1 -1 (x) 1 ^2(x) + ^2(x) = 1 La dernière égalité vient du théorème de Pythagore : OM = 1. Pour x entre 0 et /2, on retrouve le cosinus et le sinus de l'angle aigu du triangle rectangle. 2. Valeurs remarquables x = 0 : (1\,;\,0) ; x = /6 : (32\,;\,1/2) ; x = /4 : (22\,;\,22) ; x = /3 : (1/2\,;\,32) ; x = /2 : (0\,;\,1) ; x = : (-1\,;\,0). 3. Méthode : utiliser les symétries du cercle 1. Placer le point associé à x sur le cercle et repérer le quart de cercle (quadrant) : il donne les signes de (x) et (x). 2. Se ramener à un angle de référence entre 0 et /2 par symétrie : (-x) = (x), (-x) = -(x) ; ( - x) = -(x), ( - x) = (x) ; ( + x) = -(x), ( + x) = -(x). 3. Exemple : 7/6 = + /6, donc (7/6) = -1/2 et (7/6) = -32. 4. Attention Les fonctions cosinus et sinus sont 2-périodiques : avant de chercher une valeur, retranchez les tours complets. Par exemple 13/6 = 2 + /6, donc (13/6) = 32.

Dans ce chapitre

• Trigonométrie du triangle rectangle, angles et proportionnalité de Seconde
• Longueur d'un arc de cercle, rayon et angle au centre de Seconde
• Phénomènes périodiques et identification d'un motif élémentaire de Seconde
• Enroulement de la droite numérique et mesure d'un angle en radians (STL)
• Cercle trigonométrique, repérage et cosinus et sinus remarquables (STL)
• Fonctions sinusoïdales, pulsation et amplitude
• Période, fréquence et relation f = 1/T d'un signal périodique en STL
• Pulsation omega et relation avec la période omega = 2pi/T en STL
• Modèle mathématique du signal sinusoïdal s(t) = A cos(omega t + phi) en laboratoire
• Amplitude A et valeur crête-à-crête d'une tension ou d'une intensité alternative en STL
• Déphasage phi et avance ou retard de phase entre deux signaux sinusoïdaux en STL
• Valeur moyenne d'un signal périodique et composante continue en STL
• Valeur efficace d'un signal sinusoïdal et relation U_eff = U_max / 2 en STL
• Dérivation de la fonction sinusoïdale et vitesse de variation en STL
• Exploitation d'un oscillogramme : lecture de la période, de l'amplitude et de la phase en STL
• Bilan : Synthèse et méthode sur Signaux périodiques & Fonctions circulaires (STL)