Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Épreuve de Bernoulli : 2 issues \S, E\ avec P(S) = p et P(E) = 1-p. • Schéma de Bernoulli : répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. • Deux conditions absolues à justifier : IDENTIQUES et INDÉPENDANTES. • Arbre à n étages : 2^n chemins, chaque chemin avec k succès a pour probabilité p^k(1-p)^n-k.

Le cours

Fondements du modèle binomial Le schéma de Bernoulli modélise la répétition indépendante d'une expérience élémentaire à deux issues. C'est la brique fondamentale des probabilités discrètes en Terminale. Épreuve de Bernoulli de paramètre p Une expérience aléatoire comportant exactement deux issues contraires : • Le Succès S, avec P(S) = p (0 Schéma de Bernoulli de paramètres (n, p) Répétition de n épreuves de Bernoulli dans deux conditions impératives : 1. Les épreuves sont identiques : la probabilité p du succès reste constante à chaque étape. 2. Les épreuves sont indépendantes : le résultat d'une épreuve n'influence pas les suivantes. Représentation par arbre pondéré L'arbre comporte n niveaux d'embranchements successifs. Il possède au total 2^n chemins complets distincts. La probabilité d'un chemin comportant k succès et n-k échecs est égale au produit p^k (1-p)^n-k.

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres