Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Loi binomiale : X B(n, p), P(X = k) = nkp^k(1-p)^n-k. • Espérance np, variance np(1-p). • Concentration : P(|X_n - | ) ^2/n^2. • Grands nombres : pour tout > 0, P(|X_n - | ) tend vers 0 quand n +.

Le cours

Synthèse globale du chapitre Ce bilan récapitule l'ensemble des notions de probabilités du programme de Terminale Spécialité : conditions d'application du schéma de Bernoulli, formules de la loi binomiale, calculs d'indicateurs et théorèmes de concentration et de convergence. La boîte à outils de la loi binomiale • X B(n, p) (épreuves identiques et indépendantes) • P(X = k) = nk p^k (1-p)^n-k • P(X = 0) = (1-p)^n et P(X 1) = 1 - (1-p)^n • E(X) = np, V(X) = np(1-p), (X) = np(1-p) Les théorèmes limites • Bienaymé-Tchebychev : P(|X - E(X)| ) V(X)/^2 • Concentration : P(|X_n - | ) ^2/n^2 • Grands nombres : _n + P(|X_n - | ) = 0 • Taille suffisante d'échantillon : n ^2/ ^2 Rédaction attendue pour justifier une loi binomiale 1. Nommer la variable aléatoire X et expliciter ce qu'elle compte. 2. Justifier les deux conditions : répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. 3. Conclure : 'X suit la loi binomiale de paramètres n = ... et p = ...'. 4. Poser la formule littérale avant tout calcul numérique.

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres