Détermination de la taille minimale d'échantillon n

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Condition générale : n ^2/ ^2. • Majoration universelle pour une proportion : p(1-p) 1/4. • Taille universelle pour estimer une proportion : n 1/4 ^2. • Toujours arrondir n à l'entier supérieur (plafond).

Le cours

Dimensionnement d'échantillon et estimation Une problématique centrale des sondages et des essais cliniques consiste à déterminer le nombre minimal n d'individus à interroger pour garantir un niveau de précision avec un seuil de confiance minimal 1 - . Cas général avec variance ^2 connue On souhaite : P(|X_n - | Cas d'une proportion p inconnue Pour une fréquence F_n, ^2 = p(1-p). Or, pour tout p [0, 1], p(1-p) 1/4 (atteint en p = 0,5). La condition la plus défavorable donne la formule universelle : n 1/4 ^2 Une taille suffisante, pas la plus petite possible L'inégalité de concentration est valable pour toute loi, mais elle est prudente : la valeur de n obtenue garantit la précision voulue ; une taille plus petite peut suffire en réalité. On rédige donc « il suffit de prendre n » et l'on retient le plus petit entier qui vérifie l'inégalité.

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres