Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• E(X) = np. • V(X) = np(1-p). • (X) = np(1-p). • La variance est maximale pour p = 0,5, où V(X) = 0,25n.

Le cours

Paramètres statistiques fondamentaux de B(n, p) Pour une loi binomiale B(n, p), l'espérance, la variance et l'écart type se calculent directement à partir des deux paramètres n et p, sans passer par le tableau de la loi. Espérance E(X) E(X) = n p Nombre moyen de succès sur les n épreuves, si l'on répète le schéma un grand nombre de fois. Variance V(X) V(X) = n p (1 - p) Mesure la dispersion du nombre de succès autour de np (en unité au carré). Écart type (X) (X) = n p (1 - p) Mesure la dispersion dans la même unité que la variable X. Pourquoi ces formules ? Le nombre de succès s'écrit X = X_1 + X_2 + + X_n, où X_i vaut 1 si la i-ième épreuve est un succès et 0 sinon. Chaque X_i suit la loi de Bernoulli de paramètre p : E(X_i) = p et V(X_i) = p(1-p). Par linéarité de l'espérance, E(X) = np ; les épreuves étant indépendantes, les variances s'ajoutent : V(X) = np(1-p). Mini-exemple et ordre de grandeur Pour 100 lancers d'une pièce équilibrée, X B(100\,;\,0,5) : E(X) = 50, V(X) = 25 et (X) = 5. On s'attend donc à environ 50 « Pile », avec des écarts de l'ordre de 5. Comme 1 - p < 1, on a toujours V(X) < E(X) pour une loi binomiale.

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres