Représentation graphique et allure de la loi binomiale

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Représentation canonique : diagramme en bâtons (variable discrète). • Si p = 0,5, la distribution est parfaitement symétrique autour de n/2. • Si p 0,5, à droite. • Le pic de probabilité (mode) est toujours très proche de l'espérance np.

Le cours

Diagramme en bâtons et profil de distribution La représentation graphique de la loi binomiale s'effectue sous forme d'un diagramme en bâtons où chaque abscisse k porte un segment vertical de hauteur proportionnelle à P(X = k). Symétrie si p = 0,5 Lorsque p = 0,5, la distribution est parfaitement symétrique par rapport au centre k = n/2 : P(X = k) = P(X = n - k) Le sommet de la courbe (le mode) est exactement atteint en n/2 (si n est pair). Asymétrie si p 0,5 • Si p décalée vers la gauche (les petites valeurs de succès sont les plus probables). • Si p > 0,5 : la cloche est décalée vers la droite. Dans tous les cas, le sommet (le mode) se situe au voisinage immédiat de la moyenne théorique np.

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres