Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Loi des grands nombres : pour tout > 0, _n + P(|X_n - | ) = 0. • La fréquence observée F_n converge en probabilité vers la probabilité théorique p. • Démontrée grâce au théorème des gendarmes appliqué à l'inégalité de concentration.
Le cours
Le théorème de la loi des grands nombres La loi des grands nombres est le théorème fondamental qui unifie les statistiques et les probabilités : elle démontre que la moyenne ou fréquence observée sur un échantillon converge vers l'espérance théorique lorsque la taille de l'échantillon devient infinie. Énoncé du théorème Soit (X_n) un échantillon i.i.d. d'espérance et de variance ^2. Pour tout réel > 0, aussi petit soit-il : _n + P(|X_n - | ) = 0 Ou de façon équivalente : _n + P(|X_n - | Démonstration par encadrement D'après l'inégalité de concentration : 0 P(|X_n - | ) ^2/n ^2 Comme _n + ^2/n ^2 = 0, le théorème des gendarmes entraîne directement la convergence vers 0.
Dans ce chapitre
- Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
- Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
- Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
- Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
- Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
- Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
- Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
- Représentation graphique et allure de la loi binomiale
- Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
- Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
- Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
- Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
- Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
- Détermination de la taille minimale d'échantillon n
- Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres