Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre

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À retenir

• Si X B(n, p), alors pour tout k \0, , n\ : P(X = k) = nk p^k (1-p)^n-k • nk = nombre de chemins de l'arbre réalisant exactement k succès. • p^k(1-p)^n-k = probabilité d'un chemin individuel à k succès.

Le cours

La loi binomiale B(n, p) Soit un schéma de Bernoulli de paramètres (n, p). La variable aléatoire X qui compte le nombre total de succès obtenus au cours des n épreuves suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p). Le rôle du coefficient binomial nk Dans l'arbre de dénombrement à n niveaux, le nombre de chemins comportant exactement k succès parmi les n épreuves est égal au nombre de façons de choisir l'emplacement des k succès parmi les n étapes, c'est-à-dire : nk Formule fondamentale de la loi binomiale Pour tout entier k \0, 1, 2, , n\ : P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k Comme tous les chemins à k succès ont la même probabilité p^k(1-p)^n-k et sont disjoints, on multiplie par leur nombre nk.

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres