Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Loi de probabilité : tableau des couples (x_i, p_i) avec p_i 0 et p_i = 1. • E(X) = x_i p_i : valeur moyenne de X sur un très grand nombre de répétitions. • Gain algébrique G : E(G) > 0 favorable, E(G) = 0 équitable, E(G) < 0 défavorable au joueur. • Affine : E(aX+b) = aE(X)+b.

Le cours

Variables aléatoires réelles discrètes Une variable aléatoire X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité donne toutes les valeurs possibles et leurs probabilités ; son espérance en résume la valeur moyenne. Loi de probabilité et Espérance E(X) Soit X() = \x_1, x_2, , x_k\ et p_i = P(X = x_i), avec p_i 0 et p_i = 1. L'espérance E(X) est la moyenne théorique pondérée : E(X) = _i=1^k x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + + x_k p_k Un jeu est dit équitable si l'espérance du gain algébrique est nulle. Interpréter l'espérance Si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des valeurs observées de X se rapproche de E(X). Pour un gain algébrique G : E(G) > 0, jeu favorable au joueur ; E(G) = 0, jeu équitable ; E(G) Transformation affine et mise Pour tous réels a et b : E(aX + b) = aE(X) + b Exemple : si un joueur paie une mise de 3 € et reçoit un montant R d'espérance E(R) = 2,5 €, son gain algébrique G = R - 3 a pour espérance E(G) = 2,5 - 3 = -0,5 € : le jeu est défavorable. La dispersion de X (variance, écart type) fait l'objet du rappel suivant.

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres