Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• P(|X - E(X)| ) V(X)/^2. • P(|X - E(X)| < ) 1 - V(X)/^2. • Valable pour TOUTE variable aléatoire admettant une variance. • représente le rayon de tolérance autour de la moyenne.
Le cours
L'inégalité universelle de Bienaymé-Tchebychev Cette inégalité majeure permet de borner la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de sa moyenne, en utilisant uniquement son espérance et sa variance, sans connaître sa loi exacte. Forme standard (écart supérieur à ) Soit X une variable aléatoire admettant une espérance E(X) et une variance V(X). Pour tout réel > 0 : P(|X - E(X)| ) V(X)/^2 La probabilité d'un écart d'au moins est majorée par V(X)/^2. Forme complémentaire (écart inférieur à ) Par passage à l'événement contraire : P(|X - E(X)| < ) 1 - V(X)/^2 Elle garantit une probabilité minimale que X reste confiné dans l'intervalle ]E(X) - , E(X) + [.
Dans ce chapitre
- Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
- Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
- Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
- Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
- Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
- Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
- Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
- Représentation graphique et allure de la loi binomiale
- Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
- Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
- Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
- Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
- Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
- Détermination de la taille minimale d'échantillon n
- Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres