Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• P_A(B) = P(A B)/P(A) (P(A) > 0). • A et B indépendants P(A B) = P(A) P(B). • Probabilités totales : P(B) = P(A)P_A(B) + P(A)P_A(B). • Arbre pondéré : la somme des probabilités des branches partant d'un même nœud vaut 1.

Le cours

Fondamentaux de Première : Conditionnement et indépendance La probabilité conditionnelle mesure la probabilité d'un événement B sachant qu'un événement A de probabilité non nulle est déjà réalisé. Définition et produit Soit A tel que P(A) > 0 : P_A(B) = P(A B)/P(A) Formule des probabilités composées : P(A B) = P(A) P_A(B) Indépendance de deux événements Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si : P(A B) = P(A) P(B) Si P(A) > 0, cela équivaut à P_A(B) = P(B) (la réalisation de A ne modifie pas la probabilité de B). Formule des probabilités totales Si A et A forment une partition de l'univers avec 0 < P(A) < 1 : P(B) = P(A B) + P(A B) = P(A) P_A(B) + P(A) P_A(B)

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres