Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• P(X = 0) = (1-p)^n. • P(X = n) = p^n. • P(X 1) = 1 - (1-p)^n. • Détermination de n : (1-p)^n n /(1-p) (attention, (1-p) < 0).

Le cours

Formules fermées pour 0 succès et 'au moins un' Les cas extrêmes k = 0 et k = n s'expriment sans coefficient binomial complexe car n0 = nn = 1. Ils permettent de résoudre analytiquement des problèmes de dimensionnement d'échantillon. Formules directes Pour X B(n, p) : • Aucun succès : P(X = 0) = n0 p^0 (1-p)^n = (1-p)^n • Que des succès : P(X = n) = nn p^n (1-p)^0 = p^n • Au moins un succès : P(X 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n Détermination de la taille minimale n Pour garantir P(X 1) 1 - (ex : 0,99) : 1 - (1-p)^n 1 - (1-p)^n En appliquant le logarithme népérien () : n (1-p) n /(1-p) (L'inégalité change de sens car (1-p) < 0).

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres