Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• E(X+Y) = E(X) + E(Y) (sans condition d'indépendance). • Si X et Y sont indépendantes : V(X+Y) = V(X) + V(Y) et V(X-Y) = V(X) + V(Y). • V(aX) = a^2 V(X). • Une variable binomiale X B(n, p) est la somme de n variables de Bernoulli i.i.d.

Le cours

Propriétés de l'espérance et de la variance d'une somme L'espérance est une opération linéaire universelle. En revanche, la variance n'est additive que sous l'hypothèse stricte d'indépendance des variables aléatoires. Linéarité de l'espérance (TOUJOURS VRAIE) Quelles que soient les variables aléatoires X et Y (indépendantes ou non) et tous réels a et b : E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) L'espérance de la somme est toujours égale à la somme des espérances. Additivité de la variance (SI INDÉPENDANTES) Si les variables X et Y sont indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y) V(X - Y) = V(X) + V(Y) Attention : la variance d'une différence est la SOMME des variances car (-1)^2 = +1.

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres