Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Définition de la variance : V(X) = E[(X - E(X))^2] = _i=1^k p_i (x_i - E(X))^2. • Formule de Koenig-Huygens (calcul pratique) : V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 • Écart type : (X) = V(X). Il s'exprime dans la même unité que la variable aléatoire X. • Propriétés pour constantes a, b : V(aX + b) = a^2 V(X) et (aX + b) = |a| (X).

Le cours

Mesurer la dispersion d'une variable aléatoire Deux variables aléatoires peuvent avoir la même espérance et des comportements très différents. La variance V(X) et l'écart type (X) mesurent à quel point les valeurs de X s'éloignent de leur moyenne E(X). Ce sont elles qui servent, en Terminale, dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres. Définition de la variance Si X prend les valeurs x_1, , x_k avec les probabilités p_1, , p_k et a pour espérance E(X) : V(X) = _i=1^k p_i (x_i - E(X))^2 C'est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance : elle est toujours positive ou nulle, et nulle seulement si X est constante. Formule de calcul (Koenig-Huygens) V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 avec E(X^2) = _i=1^k p_i x_i^2 L'écart type est (X) = V(X) : il s'exprime dans la même unité que X (euros, points…), alors que la variance est en unité au carré. Changement d'échelle et mini-exemple Pour tous réels a et b : V(aX + b) = a^2 V(X) et (aX + b) = |a|\,(X). Ajouter une constante décale les valeurs sans changer leur dispersion. Exemple : X vaut 0 ou 10 avec probabilité 1/2 chacune. Alors E(X) = 5, E(X^2) = 50, V(X) = 50 - 25 = 25 et (X) = 5 : chaque valeur est exactement à un écart type de la moyenne.

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres