Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n

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À retenir

• Échantillon i.i.d. d'espérance et variance ^2. • Somme S_n : E(S_n) = n, V(S_n) = n^2, (S_n) = n. • Moyenne X_n : E(X_n) = , V(X_n) = ^2/n, (X_n) = n. • Pour diviser l'écart type de la moyenne par 2, il faut quadrupler (4n) la taille de l'échantillon.

Le cours

Statistique inférentielle : Somme et Moyenne empirique Un échantillon de taille n est une suite (X_1, X_2, , X_n) de variables aléatoires indépendantes et de même loi (notées i.i.d.). On note = E(X_i) leur espérance commune et ^2 = V(X_i) leur variance commune. La somme S_n = _i=1^n X_i • E(S_n) = _i=1^n E(X_i) = n • V(S_n) = _i=1^n V(X_i) = n ^2 • (S_n) = n La moyenne X_n = S_n/n • E(X_n) = E(S_n)/n = n/n = (moyenne non biaisée) • V(X_n) = V(S_n/n) = V(S_n)/n^2 = n^2/n^2 = ^2/n • (X_n) = n Effet stabilisateur de la taille de l'échantillon L'écart type de la moyenne (X_n) = n tend vers 0 quand n +. Plus la taille de l'échantillon augmente, plus la moyenne empirique se concentre étroitement autour de l'espérance théorique .

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres