Inégalité de concentration pour la moyenne X_n

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Inégalité de concentration : P(|X_n - | ) ^2/n ^2. • Confinement : P(|X_n - | < ) 1 - ^2/n ^2. • La borne supérieure est proportionnelle à 1/n : elle tend vers 0 quand n +.

Le cours

L'inégalité de concentration En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la moyenne empirique X_n, dont la variance est ^2/n, on obtient l'inégalité de concentration. Elle explicite mathématiquement la vitesse à laquelle la moyenne se stabilise. Énoncé fondamental Soit (X_1, , X_n) un échantillon i.i.d. d'espérance et de variance ^2. Pour tout > 0 : P(|X_n - | ) ^2/n ^2 Forme de confinement P(|X_n - | < ) 1 - ^2/n ^2 Cette borne tend vers 1 lorsque la taille d'échantillon n tend vers +.

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres