Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• P(X k) = 'au plus k succès' = binomFRép(n, p, k). • P(X k) = 'au moins k succès' = 1 - P(X k-1). • P(X < k) = P(X k-1). • P(a X b) = P(X b) - P(X a-1).

Le cours

Probabilités cumulées et intervalles Au-delà de la probabilité ponctuelle P(X = k), les problèmes de fiabilité, de contrôle qualité et de biologie étudient des seuils cumulés : 'au plus k succès' ou 'au moins k succès'. Probabilité cumulée inférieure P(X k) P(X k) = _i=0^k P(X = i) = P(X = 0) + P(X = 1) + + P(X = k) Calculatrice : fonction binomFRép(n, p, k) (ou binomcdf). Pour l'inégalité stricte : P(X Probabilité cumulée supérieure P(X k) On utilise l'événement complémentaire : P(X k) = 1 - P(X k - 1) Pour un encadrement entre deux bornes : P(a X b) = P(X b) - P(X a - 1)

Dans ce chapitre

• Probabilités conditionnelles, indépendance et arbres pondérés de Première
• Variables aléatoires, loi de probabilité et espérance de Première
• Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli de paramètres (n, p)
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète de Première
• Loi binomiale B(n, p) et coefficient binomial dans l'arbre
• Calculs de probabilités ponctuelles et cumulées avec B(n, p)
• Modélisation d'événements 'au moins un' et 'aucun succès'
• Représentation graphique et allure de la loi binomiale
• Espérance, variance et écart type de la loi binomiale par somme de variables de Bernoulli
• Somme de variables aléatoires indépendantes et linéarité de l'espérance
• Échantillon de variables aléatoires i.i.d., somme S_n et moyenne X_n
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
• Inégalité de concentration pour la moyenne X_n
• Loi faible des grands nombres et convergence de la fréquence
• Détermination de la taille minimale d'échantillon n
• Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités, loi binomiale et loi des grands nombres