Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Produit cartésien : A B = \(x, y) x A, y B\. • Cardinal : Card(A B) = Card(A) Card(B). • Ordre essentiel : (a, b) (b, a) si a b. • Généralisation : Card(A_1 A_k) = _i=1^k Card(A_i).

Le cours

Définition du produit cartésien Soient A et B deux ensembles. Le produit cartésien de A par B, noté A B, est l'ensemble de tous les couples ordonnés (x, y) où x A et y B : A B = \(x, y) x A et y B\ Théorème du cardinal du produit cartésien Si A et B sont deux ensembles finis de cardinaux respectifs n et p : Card(A B) = Card(A) Card(B) = n p Chacun des n éléments de A peut être associé indépendamment à chacun des p éléments de B. Non-commutativité des couples Dans un couple (x, y), l'ordre des composantes est primordial : si x y, alors (x, y) (y, x). Par conséquent, A B B A dès que A B avec A et B non vides (leurs cardinaux sont pourtant égaux). Si l'un des deux est vide, les deux produits sont vides. Extension à k ensembles Pour des ensembles finis A_1, A_2, , A_k : Card(A_1 A_2 A_k) = Card(A_1) Card(A_2) Card(A_k)

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement